ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2004-2005

Corso Sperimentale P.N.I.

Tema di MATEMATICA - 23 giugno 2005

Svolgimento a cura della prof.ssa Sandra Bernecoli (sandrabernecoli@interfree.it) e del prof. Luigi Tomasi (luigi.tomasi@libero.it)

RISPOSTE AI QUESITI DEL QUESTIONARIO

Quesito n. 1

Sia AB il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di centro O. Vogliamo dimostrare che AB è la sezione aurea del raggio OA (vedi figura seguente).

Infatti, unito O con i punti A e B, si ha che l’angolo AOB è la decima parte di un angolo giro, ossia è un angolo di 36°.

Poiché il triangolo AOB è isoscele, essendo il suo angolo al vertice di 36°, gli angoli alla base OAB, OBA sono di 72°.

Nel triangolo ABO si tracci ora la bisettrice dell’angolo OBA e sia C la sua intersezione con il lato OA. Si consideri il triangolo ABC; esso è simile al triangolo AOC. Anche il triangolo OBC è isoscele. Si ha quindi che AB=BC=CO. Dalla similitudine tra OAB e BAC, si ha

da cui si ricava, dato che AB=OC:

,

ossia OC è la sezione aurea di OA. Quindi possiamo concludere che:

.

Consideriamo la circonferenza goniometrica in cui AB è il lato del decagono regolare in essa inscritto.

.

Si ha . Da questa si ricava che . Quindi, si ottiene: .