ESAME
DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2004-2005
Corso di ordinamento
Tema di MATEMATICA -
23 giugno 2005
Svolgimento a cura del Prof.
Rocco Fazio
Problema N. 2 Corso di ordinamento
1. La funzione f è continua in 0; infatti risulta:
.
Il primo dei tre limiti vale 0, il terzo vale 1; per calcolare il secondo possiamo applicare il teorema del l’Hospital:
Dunque è
Per la derivabilità calcoliamo il limite del rapporto incrementale destro
2.
L’equazione 
si può scrivere come 
e quindi come 
. Dal confronto fra i due grafici si vede che l’equazione ha
una soluzione a, con 4 < a < 5.
3. Per tracciare C osserviamo che:
f(x) > 0 per x < a;
, 
; 
per x < e; 
, 
per x £
1.
Dunque f ha un massimo nel punto di coordinate 
e un flesso nel punto
di coordinate 
. Il grafico è dunque il seguente:
L’equazione della retta tangente a C nel punto di ascissa 1 (che è il punto di flesso) è:
Þ
4.
Posto 
, l’area An è data da:
Osserviamo che per il calcolo
dell’integrale 
occorre utilizzare la
formula dell’integrazione per parti.
5. Il limite di An per n tendente a + ¥ è:
